加法定理の証明 理解補助ツール

高校数学II : 三角関数

加法定理の証明ビジュアライザー

単位円と「2点間の距離・余弦定理」から直感的に数式を導く

基本定理： \(\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\)

単位円（半径 \(r = 1\)） 回転して点 \(Q\) を \((1,0)\) に重ねる & \(\cos(\alpha-\beta)\) を表示

点 P, Q をドラッグできます

\(P(\cos\alpha, \sin\alpha)\)

\(Q(\cos\beta, \sin\beta)\)

線分 \(PQ\)（長さ \(d\)）

動径 OP の角 \(\alpha\) 75° (5π/12 rad)

\(\cos\alpha \approx\) 0.259 \(\sin\alpha \approx\) 0.966

動径 OQ の角 \(\beta\) 30° (π/6 rad)

\(\cos\beta \approx\) 0.866 \(\sin\beta \approx\) 0.500

挟角 \(\theta = \alpha - \beta\) 45° (π/4 rad)

\(\cos(\alpha - \beta) \approx\) 0.7071

有名角の組み合わせで確認：

証 証明の核心：2通りの方法で \(PQ^2\) の長さを求める

単位円上の2点間の距離は、「2点の座標を用いた計算」と「三角形 OPQ での余弦定理」の2つの方法で表すことができます。

アプローチ ① 座標による2点間の距離

\(P(\cos\alpha, \sin\alpha)\) と \(Q(\cos\beta, \sin\beta)\) の距離公式より：

\[\begin{aligned} PQ^2 &= (\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2 \\ &= \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta \\ &\quad + \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta \end{aligned}\]

\(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\) を適用して整理：

\[\mathbf{PQ^2 = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)} \quad \cdots (1)\]

式(1) による計算値：\(PQ^2 \approx\) 0.5858

アプローチ ② \(\triangle\mathrm{OPQ}\) における余弦定理

単位円のため \(OP = 1, OQ = 1\)、挟む角は \(\angle\mathrm{POQ} = \alpha - \beta\)：

\[\begin{aligned} PQ^2 &= OP^2 + OQ^2 - 2\cdot OP\cdot OQ \cdot \cos(\alpha - \beta) \\ &= 1^2 + 1^2 - 2(1)(1)\cos(\alpha - \beta) \end{aligned}\]

余弦定理をまとめると：

\[\mathbf{PQ^2 = 2 - 2\cos(\alpha - \beta)} \quad \cdots (2)\]

式(2) による計算値：\(PQ^2 \approx\) 0.5858

2つの式 (1) と (2) を等置する

同じ線分の長さの2乗を表すため、右辺同士が完全に一致します。

\[2 - 2\cos(\alpha - \beta) = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)\]

両辺から \(2\) を引き、\(-2\) で割ることで加法定理の基本式が完成します：

\[\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\]

基本定理から広がる加法定理のファミリー

求めた \(\cos(\alpha - \beta)\) を土台に、角の符号反転や余角公式で残りの3式を導きます。

\(\beta\) を \(-\beta\) に置き換えます（\(\cos(-\beta) = \cos\beta\)、\(\sin(-\beta) = -\sin\beta\) を適用）：

\[\begin{aligned} \cos(\alpha + \beta) &= \cos(\alpha - (-\beta)) \\ &= \cos\alpha\cos(-\beta) + \sin\alpha\sin(-\beta) \\ &= \mathbf{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta} \end{aligned}\]

余角の関係 \(\sin\theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\) を利用します：

\[\begin{aligned} \sin(\alpha + \beta) &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta)\right) \\ &= \cos\left(\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \beta\right) \\ &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\cos\beta + \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\sin\beta \\ &= \mathbf{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta} \end{aligned}\]

\(\sin(\alpha + \beta)\) において \(\beta\) を \(-\beta\) に置き換えます：

\[\begin{aligned} \sin(\alpha - \beta) &= \sin(\alpha + (-\beta)) \\ &= \sin\alpha\cos(-\beta) + \cos\alpha\sin(-\beta) \\ &= \mathbf{\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta} \end{aligned}\]

定義 \(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) を用い、分母・分子を \(\cos\alpha\cos\beta\) で割ります：

\[\begin{aligned} \tan(\alpha + \beta) &= \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \frac{\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta} \\[8pt] &= \frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} + \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} - \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}} = \mathbf{\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}} \end{aligned}\]